Geometri euclid

Jarak

            Mengukur panjang suatu obyek fisik sering dilakukan dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan alat-alat pengukuran seperti dalam Gambar 3.1 di bawah ini.  Jarak dan mistar merupakan istilah-istilah yang berhubungan erat dengan kegiatan pengukuran. Dalam bagian ini istilah-istilah tersebut diformalkan dalam geometri termasuk satuan pengukuran cara penempatan mistar dalam melakukan pengukuran.  Keantaraan titik-titik pada sebuah garis merupakan salah satu istilah yang dibahas.

1. Jarak sebagai fungsi

Postulat 3.1.

Setiap pasang titik-titik yang berbeda, berkorespondensi dengan satu bilangan positif.  Bilangan ini disebut jarak kedua titik tersebut.

Postulat ini menyatakan bahwa jarak adalah suatu fungsi d:  

       d: S x S  →

             (S adalah himpunan titik,  adalah himpunan bilangan real).

Jadi, untuk setiap P dan Q dengan P ≠ Q dalam S;

          i.            d(P, Q)  0

        ii.            d(P, Q)  = d(Q, P) 

Definisi 3.1.    

d(P, Q) akan disebut jarak antara P dan Q yang selanjutnya dilambangkan dengan PQ.

Himpunan bilangan nyata dapat ditunjukkan dengan gambar yakni memasangkan setiap bilangan dengan titik-titik pada satu garis.  Aturan pemasangan ini dikenal dengan korespodensi satu-satu antara bilangan nyata (bilangan real) dengan titik-titik pada satu garis. Penggambaran bilangan nyata pada garis lasim disebut garis bilangan atau mistar.  Cara menggambar garis bilangan diawali dengan menentukan satu titik sebarang pada garis dan melambangkan titik itu dengan “0”, kemudian ditentukan titik lain pada garis itu dan melambangkan titik itu dengan “1”.   Berdasarkan Postulat 3.1. dan Definisi 3.1, hubungan letak kedua titik itu dikatakan berjarak satu.  Mengacu pada jarak ini maka ditentukan titik-titik lainnya pada garis dan melambangkan titik-titik itu dengan menggunakan lambang bilangan secara berurutan,  di sebelah kanan “1” dengan “2”, “3”, dan seterusnya sedangkan di belah kiri “0” dengan “-1”, “-2”, “-3” dan seterusnya, 

Definisi 3.2:

               Diberikan  f:    l  ↔  

   adalah korespondensi satu-satu antara garis l dan himpunan bilangan  nyata. Jika untuk semua titik P, Q pada l diperoleh

                                          PQ = ‌‌│f(P) – f(Q)│

maka  f adalah sistem koordinat untuk l.   Untuk setiap P pada l, x = f(P) disebut koordinat P.

Postulat 3.2. (Postulat mistar) : 

Setiap garis memiliki sistem koordinat.

Berdasarkan postulat-postulat di atas dapat dibuktikan teorema-teorema berikut:

Teorema 3.1.   

Jika f sistem koordinat untuk l dan g(P) = -f(P) untuk setiap titik P pada l,  maka g adalah sistem koordinat untuk l.

Diketahui: f: l ®   g: l ® ;  g(P) = -f(P)

Buktikan : f = g

Bukti:

	Pernyataan		Alasan
1)	Ambil x  = g(P) , y = g(Q)	……..	definisi 3.2
2)	-x = f(P),   -y = f(P)	……..	diketahui
3)	PQ  = ‌‌│(-x) – (-y)│	……..	definisi 3.2
4)	PQ  = ‌‌ïy – xï	……..	sifat nilai mutlak
	PQ  =  ïx – yï
5)	PQ  = │ g(P) – g(Q) │	……..	definisi 3.2
6)	g adalah sistem koordinat	……..	definisi 3.2

P

Q

g (P) = x

f (P) = -x

g (Q) = y

f (Q) = -y

l

Gambar 3.3.

Teorema 3.2.   

Misalkan f sistem koordinat untuk garis l, a sebuah bilangan nyata, dan untuk   P pada 1, misalkan pula g(P) = f(P) + a,  maka g: l ↔   adalah sistem kordinat untuk 1.

P

Q

f (P) = x

g (P) = x + a

f (Q) = y

g (Q) = y + a

l

Gambar 3.4.

 (Bukti diangkat sebagai bahan diskusi)

Teorema 3.3.  (Teorema penempatan mistar).

Misalkan l suatu garis dan P, Q dua titik pada l maka l mempunyai sistem koordinat dengan P = 0 dan koordinat Q adalah positif

Bukti:

Diberikan  f sebagai sistem koordinat untuk l  dan a = f(P). Untuk setiap titik T pada l, ambil  g(T) = f(T) - a.  Maka g sistem kordinat untuk l dan g(P) = 0. Jika  g(Q) > 0 maka g adalah sistem yang diteoremakan. Jika g(Q) < 0 maka ada h(T) = -g(T) untuk setiap T anggota l maka h memenuhi syarat yang diteoremakan. 

(Sebagai bahan diskusi: Tuliskan bukti ini dengan rangkaian pernyataan yang disertai dengan alasannya)